হাইড্রোজেন বা অন্য কোনো পরমাণুর n-তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, গতিবেগ এবং শক্তি রাশিমালা নির্ণয়:
হাইড্রোজেন বা অন্য কোনো পরমাণুর n-তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, গতিবেগ এবং শক্তি রাশিমালা নির্ণয়:
১. n-তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ নির্ণয়:
ধরা যাক, হাইড্রোজেন বা অন্য কোনো পরমাণুর নিউক্লিয়াসে ধনাত্মক চার্জের পরিমাণ = Ze (যেখানে Z = পারমাণবিক সংখ্যা এবং e = প্রোটন বা ইলেকট্রনের চার্জ)। হাইড্রোজেন পরমাণুতে একটি মাত্র ইলেকট্রন নিউক্লিয়াসকে কেন্দ্র করে r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তাকার কক্ষপথে পরিভ্রমণ করে এবং তার বেগ v।
কুলম্বের সূত্রানুযায়ী, নিউক্লিয়াস কর্তৃক ইলেকট্রনটির উপর আকর্ষণ জনিত বল অর্থাৎ কেন্দ্রমুখী বল—
আবার, v বেগে আবর্তনশীল ইলেকট্রনটির ক্ষেত্রে কেন্দ্রবিমুখী বল—
[এখানে, m = ইলেকট্রনের ভর এবং r = কক্ষপথের ব্যাসার্ধ]
একটি নির্দিষ্ট কক্ষপথে কোন ইলেকট্রনকে ঘূর্ণনরত থাকার শর্ত হলো কেন্দ্রমুখী বল ও কেন্দ্রবিমুখী বল পরস্পর সমান হতে হবে। অর্থাৎ—
বা,
বা, mv2r = Ze2
বা, v2 =
পুনরায় বোরের প্রস্তাব অনুযায়ী স্থায়ী কক্ষপথে ইলেকট্রনের কৌণিক ভরবেগ—
বা, v =
বা, v2 =
সমীকরণ (iii) ও (iv) হতে পাই—
বা, Ze2 =
বা, Ze2 · 4π2mr = n2h2
বা, r =
সমীকরণ (v) ব্যবহার করে কোন কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেকট্রনের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা হয়।
২. বোর কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেকট্রনের গতিবেগ নির্ণয়:
বোর পরমাণু মডেলের তত্ত্ব অনুযায়ী—
বা, r =
আবার, আমরা জানি কক্ষপথের ব্যাসার্ধ—
সমীকরণ (i) ও (ii) নং হতে পাই—
বা,
বা, v =
হাইড্রোজেন পরমাণুর ক্ষেত্রে (Z = 1) বিভিন্ন কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেকট্রনের গতিবেগ—
৩. n-তম কক্ষপথের ইলেকট্রনের মোট শক্তি রাশিমাল্লা নির্ণয়:
কোন পরমাণুর n-তম কক্ষপথের ইলেকট্রনের মোট শক্তি (En), তার স্থিতিশক্তি (Potential Energy) এবং গতিশক্তির (Kinetic Energy) সমষ্টির সমান।
বা, En =
[সমীকরণ (iii) হতে আমরা জানি, mv2 =
বা, En =
বা, En =
বা, En =
বা, En =
এখন, ব্যাসার্ধ r এর মান সমীকরণে বসিয়ে পাই—
হাইড্রোজেন পরমাণুর ক্ষেত্রে (Z = 1) n-তম কক্ষপথের মোট শক্তি—
হাইড্রোজেন বা অন্য কোনো পরমাণুর n-তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, গতিবেগ এবং শক্তি নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় ধ্রুবকের মান:
| ক্রমিক নং | বিষয় | প্রতীক | C.G.S একক পদ্ধতি | M.K.S / S.I একক পদ্ধতি |
|---|---|---|---|---|
| ১ | আলোর বেগ | c | 3 × 1010 cm s-1 | 3 × 108 m s-1 |
| ২ | প্লাঙ্কের ধ্রুবক | h | 6.626 × 10-27 erg s | 6.626 × 10-34 J s |
| ৩ | ইলেকট্রনের ভর | m | 9.108 × 10-28 g | 9.108 × 10-31 kg |
| ৪ | ইলেকট্রনের চার্জ | e | 4.8 × 10-10 e.s.u | 1.602 × 10-19 C |
| ৫ | রিডবার্গ ধ্রুবক | RH | 109678 cm-1 | 10967800 m-1 |
| ৬ | ১ ইভি (eV) ইলেকট্রনের শক্তি | E | 1.6 × 10-12 erg | 1.6 × 10-19 J |
| ৭ | ব্যাসার্ধ (১ম কক্ষপথ, H) | r | 5.292 × 10-9 cm | 5.292 × 10-11 m |
| ৮ | গতিবেগ (১ম কক্ষপথ, H) | v | 2.18 × 108 cm s-1 | 2.18 × 106 m s-1 |
| ৯ | মোট শক্তি (১ম কক্ষপথ, H) | En | -2.18 × 10-11 erg | -2.18 × 10-18 J |
1 erg = 1 g cm2 s-2 | 1 e.s.u = 1 g1/2 cm3/2 s-1
(i) 1 m = 102 cm (বা, 1 cm = 10-2 m) (ii) 1 cm s-1 = 10-2 m s-1 (iii) 1 erg = 10-7 J (বা, 1 J = 107 erg)
টাস্ক: H, He+, Li2+ এবং Be3+ এর প্রথম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ এবং এই কক্ষপথে ইলেকট্রনটির গতিবেগ ও শক্তি নির্ণয় করো।
রিডবার্গ সমীকরণ প্রতিপাদন (বোরের অনুসিদ্ধান্ত হতে):
যখন কোনো ইলেকট্রন উচ্চতর কক্ষপথ (n2) থেকে নিম্নতর কক্ষপথে (n1) অবরোহণ করে, তখন বিকিরিত আলোক রশ্মির কম্পাঙ্ক ν হলে বোরের তত্ত্বানুযায়ী লেখা যায়—
বা, h ·
বা,
বা,
বা,
বা,
১. হাইড্রোজেন পরমাণুর ক্ষেত্রে (Z = 1) রিডবার্গ সমীকরণটি হলো—
২. হাইড্রোজেন অনুরূপ আয়নসমূহের ক্ষেত্রে (যেমন: He+, Li2+, Be3+ ইত্যাদি) সমীকরণটি হবে—
মনে রেখো (Note): হাইড্রোজেন পরমাণুর উত্তেজিত একটি ইলেকট্রন ৪র্থ শক্তিস্তর থেকে ২য় শক্তিস্তরে অবনমিত হলে যে বর্ণালীর তরঙ্গদৈর্ঘ্য পাওয়া যাবে, Li2+ লিথিয়াম আয়নের ক্ষেত্রে একই ঘটনা ঘটলেও তরঙ্গদৈর্ঘ্য অবশ্যই আলাদা হবে। কারণ উভয়ের পারমাণবিক সংখ্যা (Z) ভিন্ন।
রিডবার্গ ধ্রুবকের (RH) তাত্ত্বিক মান নির্ণয়:
বা, RH =
বা, RH = 109321.56 cm-1
রিডবার্গ ধ্রুবকের পরীক্ষালব্ধ (Experimental) প্রকৃত মান হলো 109678 cm-1। যেহেতু বোর তত্ত্বের সাহায্যে নির্ণীত মানটি প্রকৃত মানের খুব কাছাকাছি, সুতরাং বলা যায় বোরের পরমাণু মডেলটি অত্যন্ত বাস্তবসম্মত ও নির্ভুল।
অধ্যায়ের গুরুত্বপূর্ণ সূত্রসমূহ (একনজরে):
- ১. কৌণিক ভরবেগ, mvr = nh2π
- ২. n-তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, rn = n2h24π2mZe2
- ৩. n-তম কক্ষপথে গতিবেগ, vn = 2πZe2nh
- ৪. n-তম কক্ষপথে মোট শক্তি, En = – 2π2mZ2e4n2h2
- ৫. রিডবার্গ সমীকরণ, 1λ= Z2 · RH
( 1n12–1n22) - ৬. ডি-ব্রগলি সমীকরণ, λ = hmv=hp
- ৭. সিঙ্গল ফোটনের শক্তি, E = hν = hcλ
- ৮. ১ মোল ফোটনের মোট শক্তি, E = NAhν [NA = অ্যাভোগ্যাড্রো সংখ্যা]
